AMM:AMM 的一般理论：恒定乘积以外，其他数学函数能降低无常损失吗？_Uniswap

研究自动化做市商AMM的一般理论，以探寻改善无常损失的方法。

原文标题：《AMM的一般理论》撰文：邹传伟，万向区块链首席经济学家

以Uniswap为代表的恒定乘积AMM在加密资产市场取得了巨大成功，但也受无常损失之累。一些项目试图在Uniswap的基础上进行改进，比如引入预言机报价来降低无常损失，但尚未有公认的成功改进方案。

要更好地理解这些问题，需要回到AMM的一般理论：1.除了恒定乘积公式以外，还能采取其他数学函数吗，这些数学函数应该满足哪些要求？2.在其他数学函数下，也会有无常损失吗？3.什么样的数学函数是最佳的？4.AMM与加密资产市场的其他交易方式的核心区别是什么？

本文试图回答这些问题，共分三部分：第一部分讨论AMM的一般形式，第二部分讨论AMM的若干特殊形式，第三部分比较AMM与加密资产市场的其他交易方式。

ZigZag Exchange：alpha版本Mammoth池已部署至StarkNet的Goerli测试网:2月20日消息，以太坊L2 ZK Rollup订单簿DEX ZigZag Exchange发推称，其alpha版本Mammoth池已经部署在StarkNet的Goerli测试网上。StarkNet上的第一个Balancer AMM允许任何人在使用自定义代币组合创建池时以无许可的方式上线交易对。

此外，新的UI即将推出，下一个新增的将是做市商vault。白名单上的做市商将能够从池中提取流动性，并将其用于ZigZag的StarkNet订单簿，以确保任何规模的交易员的订单簿都保持厚度和流动性，从而将流动性CEX的体验带入ZigZag。[2022/2/20 10:04:17]

AMM的一般形式

跨链兑换AMM平台EVOdefi 即将上线虎符智能链HSC:据官方消息，跨链兑换平台EVOdefi将于2021年7月26日21时（UTC+8）正式上线虎符智能链HSC，并开启跨链桥接，兑换，NFT进化等。

EVOdefi是一个弹性释放、NFT提升、NFT竞技和跨链代币桥接+交换的跨链AMM，并且目标是发展为所有网络收益农场的跨链交易中心。

虎符智能链HSC是一条中心化高效节能公链，坚持“硬+游戏创新+共技术生态生态”的道路，和开发者共同构建开放共享，共荣的公链2.0生态。[2021/7/25 1:14:21]

为分析的简单，本文只研究针对两种加密资产的AMM，但相关研究很容易拓展到三种或三种以上加密资产的情形。

考虑两种加密资产，分别称为X和Y，并以加密资产X为记账单位，也就是所有价格、市值的单位均为加密资产X。AMM的状态体现为流动性池中两种加密资产的数量，假设在某一时刻为(x,y)。在AMM的一般形式下，不管两种加密资产之间如何交易，流动性池始终满足

AOFEX商务副总裁Vivian：DeFi走向大众的最重要的一步是AMM自动做市商机制和流动性挖矿的玩法:据官方消息，AOFEX商务副总裁Vivian在《佟掌柜的朋友们·海外项目专场》圆桌会议上主题为“新格局竞争下 区块链生态中各类角色如何抢滩市场”表示，DeFi走向大众的最重要的一步，始终是AMM自动做市商机制和流动性挖矿的玩法，这两者都是传统金融无法实现的新东西。自动做市商机制让新的资产从发行到流通的过程变得非常短，也真实地反应出用户对资产的实际价格预期。流动性挖矿则让每一个普通用户都可以参与其中获取收益，直接促成了DEFI项目的火热。AOFEX为了也开设了专门的DEFI挖矿参与通道，用户将币抵押在平台，平台再去选择安全优质的项目参与，并且把收益给到用户。

AOFEX数字货币金融衍生品交易所，旨在为用户提供优质服务和资产安全保障。[2021/4/26 21:00:20]

在流动性池状态为(x,y)时，流动性池中两种加密资产的市值之间的关系为

Gnosis CTO演示Gnosis协议v2版测试交易 包含AMM和限价订单等功能:预测市场协议Gnosis CTO Stefan George今日发布推特公布了Gnosis协议v2版在Rinkeby上进行的首笔结算交易，该笔交易结合了批量拍卖、AMM和限价订单功能。具体来说，在这笔限价订单的批量交易中，以 0.1 DAI的价格卖出0.1 ETH，以约 0.095 ETH的价格卖出90 DAI，剩下约3.6美元的ETH在Uniswap完成交易。[2020/12/19 15:45:15]

(1)和(7)从不同角度刻画了AMM，它们之间是相互等价的。换言之，通过限定流动性池中两种加密资产的市值之间的函数关系，也能定义AMM。

(8)尽管是一个简单分析，但对理解加密资产市值有丰富含义。第一，即使在加密资产数量不变的情况下，它们之间的交易会改变它们之间的价格关系，从而使加密资产总市值发生变化。

SBF：保险、期权等无法修复AMM的无常损失:SBF质疑自动做市商（AMMs）存在问题，其在推特表示，首先AMMs为什么存在？因为大多数区块链没有足够的吞吐量来支持订单，所以他们不得不使用AMMs。但在今年夏天之前，AMMs很少被使用。尽管现在大量被使用，但并不是自然的。DeFi领域的交易量和锁仓量（TVL）来自farm收益：项目将代币空投给用户。用户因为被“付款”而使用AMMs。但这并不是AMMs独有的，可以在订单簿、质押等领域空投收益。目前还不清楚，如果收益下降，会剩余多少交易量和锁仓量。大多数人认为AMMs最大的问题是“无常损失（IL）”：提供流动性并且价格发生波动，将损失价值。这是非永久性的，如果用户持续提供流动性，价格回升，价值将找回。很多项目尝试通过改变曲线、保险、期权等修复IL。这些帮助有限且不能修复IL。因为IL并不是参数错配，而是“糟糕交易”的委婉说法：假设在AMMs放入1 ETH和400 USDC，目前ETH价格为400美元，交易费用为30个基点。这代表需要有人用401.20 USC买入或者398.8 USDC卖出USDC。当ETH下跌60个基点，会有套利者以398.8 USDC卖给流动性提供者。这是无损失。[2020/10/15]

总的来说，这一部分对AMM的一般形式的分析主要得到如下结论：

AMM的若干特殊形式

根据第一部分的讨论，任何单调递减凸函数均可以用来定义AMM。

为方便与Uniswap的比较，接下来使用一个等价表述

(16)说明，在其他条件一样的情况下，α越大，无常损失的数值越小。这一点也通过对(15)的数值计算验证：

表1：α对无常损失的影响

如果让α取值为1/2，就得到Uniswap的恒定乘积公式，因此Uniswap属于一类广义AMM的特例。因为没有任何一对加密资产在基本面上完全一样，所以α=1/2没有逻辑上的必然性。如果要降低无常损失，可以适当调高α。比如，如果加密资产X是稳定币，加密资产Y是以太币，α完全可以大于1/2，一个选项是α=2/3。在一般情况下，α可以通过AMM社区自治决定。

AMM与其他交易方式的比较

(2)可以等价表述为

引入如下函数

总的来说，AMM的核心机制是：流动性提供者基于算法承诺，为投资者提供关于交易价格和数量的确定性。这种确定性的代价是流动性提供者锁定流动性并承担无常损失。

为更好理解这一点，需要将AMM与拍卖机制相比较。在加密资产市场的各种交易机制中，只要存在订单薄，不管有没有做市商，其核心都是拍卖机制。接下来以Algorand采取的荷兰式拍卖为例说明。尽管这个例子是出售资产，前文对AMM的分析是从购买资产的角度进行，但不同视角不影响分析逻辑。

荷兰式拍卖也被称为「减价式拍卖」：卖方由高往低喊价，直到有人愿意购买，此价即为成交价。在策略上可以证明，荷兰式拍卖等价于第一价格封闭式拍卖。在第一价格封闭式拍卖中，所有竞拍者同时提交「暗标」，从而没有竞拍者知道其他竞拍者的出价。出价最高的竞拍者获得标的，并支付他的出价。

Algorand的荷兰式拍卖与美国国债一级市场拍卖类似。美国国债一级市场采用荷兰式拍卖有相当长历史。从1929年-1992年，美国财政部使用「多重价格」荷兰式拍卖。第一步：一级交易商提交自己能接受的到期收益率及在该到期收益率上愿意购买的数量。第二步：所有竞标将按到期收益率从低到高排列，直到意愿购买数量等于债券的供给数量，临界到期收益率即为清算价。第三步：所有提交的到期收益率低于清算价的一级交易商按自己愿意购买的数量获得债券，购买价格根据各自的到期收益率计算。临界到期收益率上的一级交易商按各自愿意购买的数量分配剩余额度。因此，在竞标中胜出的一级交易商购买债券的价格是不一样的。

1992年至今，美国财政部改用「单一价格」荷兰式拍卖。「单一价格」荷兰式的拍卖的前两步与「多重价格」荷兰式拍卖一样。在第三步，仍是所有提交的到期收益率低于清算价的一级交易商按自己愿意购买的数量获得债券，但购买价格根据清算价计算。「单一价格」荷兰式拍卖中引入了两类竞标：第一种是竞争性的，即竞标者要同时说明自己能接受的到期收益率及在该到期收益率上愿意购买的数量；第二种是非竞争性的，即竞标者只需说明自己愿意购买的数量。在存在两类竞标的情况下，清算价的确定方法同上。但在债券额度分配上引入优先顺序：先满足非竞争性竞标，再将剩余额度分配给竞争性竞标，按提交的到期收益率从低到高分配。

Algorand的荷兰式拍卖相当于「单一价格」竞争性竞标。第一步：确定Algo拍卖数量以及起始竞拍价格；第二步：竞拍价格按时间线性递减，在每个竞拍价格上记录竞拍者愿意购买的数量，直到累计的愿意购买数量等于拍卖数量，临界价格即为清算价；第三步：竞拍价格高于清算价的竞拍者胜出，按竞拍价格从高到低分配Algo额度，价格统一为清算价。

图1：Algo竞拍价随时间线性递减

图2：Aglo清算价的确定

从荷兰式拍卖实践不难看出，交易价格和数量由市场决定，在事前看是高度不确定性的，而AMM能提供这方面的确定性。对AMM与场内集中撮合、场外询价成交等交易机制的区别，也可以按类似逻辑理解。

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