TIC:Uni V3的数学原理_USD

前言——UniswapV3放出了很多feature，然而其最为本质的迭代依然是对AMM数学曲线的再思考。在过去的两年中，我们也躬身入局AMM领域，认为AMM最基本的曲线形态已经定型，后续的创新应该会在AMM基本曲线形态的基础上实现“策略化”，于是我们创造了MOV超导V2。而如今我们看到了V3，突然有一种“久别重逢”的感觉，在寻找这种感觉之余，我们也希望为大家呈现AMM最为深刻的思考路程。因为AMM的时代将会比想象得更为恢弘壮阔。

让我们直切正题，UniswapV3最耀眼的创新——在AMM上实现集中流动性。

V3给出了一个虚拟储备金的概念，举例讲解：

在传统V2中，Alice一次性将500,000DAI和333.33ETH注入储备池，总价值$1m，提供全区间

(0,\infty)

的流动性，但实际上ETH的价格波动范围在很长一段时间内是有局部范围的，这种为全区间无私提供流动性的行为大大浪费了资本利用效率。

所谓的集中流动性便是让LP自主选择波动范围，只为该范围提供局部流动性，例如Bob认为未来一段时间内ETH的价格区间在

(1000,2250)

，并且如果未来真的是在这个区间波动，Bob希望自己获得的收益能够跟百万富豪Alice一样多，于是Bob一开始只需要投入91,751DAI和61.17ETH，总价值$183,500，远远小于Alice实际投入的资金。我们对照下图来解释其中的道理。

创意攻击者向以太坊地址空投UniH以窃取RUNE代币:创意攻击者正在加密空间中执行一种罕见的攻击类型。据悉，攻击者向至少76,000个以太坊地址空投UniH代币。目的是让接收者看到这些免费代币并尝试在去中心化交易所出售它们。但是这些代币带有恶意合约，一旦收币人出售了他们新收到的UniH代币（甚至只是批准出售），那么犯罪者将可以窃取他们钱包中拥有的任何RUNE代币。迄今为止，该攻击已窃取了76,000美元的代币，而且仅仅持续了几个小时。（The Block）[2021/7/24 1:12:15]

则

即Bob所获得的虚拟曲线几乎跟Alice一样。

TrustToken社区正就减少Uniswap tfTUSD/TUSD池激励展开讨论:3月18日，资产代币化平台TrustToken官方发推称，社区正在就“减少Uniswap tfTUSD/TUSD池的激励”展开讨论。根据官方社区论坛内容，有成员提议，从3月15日起的两周后，将Uniswap tfTUSD/TUSD LP池的激励减少至当前激励的10％，即15,669 TRU/天。该成员表示，Uniswap tfTUSD/TUSD LP池是希望为进入或退出tfTUSD贷款池的用户提供即时流动性。自2020年11月启动以来，tfTUSD流动性已大幅提升。因此主张减少对该池的奖励。此外社区可以讨论提出新项目帮助TrustFi协议发展，或者将这些激励代币重新分配到新资金池，如tfTUSD/ETH或tfTUSD/TRU，或者考虑在Sushiswap或1inch等新平台上添加tfTUSD/TUSD池。[2021/3/18 18:55:31]

上述计算过程是一种反证法，实际上用户Bob会向系统算法提出自己的需求输入，包括预测价格区间范围、当前价格点、最终想要获得的一个virtualreserves规模。有了虚拟曲线表达式的确定，可以轻松算出a、b、c三个确定的点坐标，进而便算出?

x_{real}=61.17

以及

CoinGecko数据：MDEX日交易量超Uniswap，位居DEX首位:CoinGecko数据显示，火币生态链Heco头部DEX项目MDEX 24小时交易量达20.16亿美金，超过Uniswap 19.52亿美元交易量，位居DEX首位，与此同时，MDEX最新锁仓资产总额高达18.95亿美金。[2021/2/24 17:47:54]

y_{real}=91751

。

同时，也可以看到，一旦未来价格越出了区间，Bob其中一种资产将彻底消失。

全局状态中有

feeGrowthGlobal0(f_{g},0)和feeGrowthGlobal1(f_{g},1)

—

f_{g}

，用来从全局角度统计总的手续费收益。例如，当在一个tick内发生了一笔交易，系统会计算出该笔交易产生的手续费：

Waves与DeFi全栈保护平台UNION达成合作:据官方消息，Waves宣布与DeFi全栈保护平台UNION达成合作。UNION将为未来使用Waves的Neutrino USD（USDN）的贷款协议提供抵押品保护产品，并为链间通信协议Gravity提供智能合约保护。[2020/12/30 16:03:28]

f_{a}

变量是对所有高于itick的区间的fee统计，

f_{b}

是对所有低于itick的区间的fee统计，因此在上述总公式中，我们从全局总累计手续费

f_{g}

中减去所有低于下界

i_{l}

的累计手续费，再减去所有高于上界

i_{u}

的累计手续费，便是

(i_{l},i_{u})

?之间的累计手续费。

OKEx将于9月20日16:00上调UNIUSDT、SUNUSDT等合约资金费率上限:据官网公告，OKEx永续合约将于2020年9月20日16:00上调UNIUSDT、UNIUSD、SUNUSDT、SUNUSD和JSTUSDT合约的资金费率上限。具体调整规则如图。[2020/9/18]

f_{o}

可以理解为一个计算单元，用于累积截止到

i

?tick的手续费，在它的初始化过程中，我们约定如下：

<img?src="https://img.jinse.com/4923026_image3.png"?auto";'>

再来看

f_{a}

的计算，分成了两段，可以理解为——

如果当前tick等于i或者高于i，此时从全局总手续费

f_{g}

中减去“累积到itick”的手续费

f_{o}(i)

，剩下的便是对所有高于itick的区间的fee统计；

但如果当前tick还未抵达i，此时根据对

f_{o}

的初始化定义为0，则所有高于itick的区间的fee统计尚未产生，为0。

同样对于

f_{b}

——

如果当前tick抵达或者超过了i，

f_{o}(i)

表示累计到i的手续费，也即对所有低于itick的区间的fee统计；

如果当前tick还未抵达i，对所有低于itick的区间的fee统计值即为当前的全局变量

f_{g}

。

通俗来概括，系统算法要统计某一个range内累计的手续费，

如果当前tick已经处于range内部，即

i_{l}\leqi_{c}<i_{u}

，只需要从全局手续费

f_{g}

减去所有低于

i_{l}

组成的range累计的手续费；

如果当前tick不处于range内部，且低于下界

i_{l}

，说明尚未在

(i_{l},i_{u})

区间内产生交易，也就未产生手续费，因此该range内累计量为0；

如果当前tick不处于range内部，且高于上界

i_{u}

，需要从全局总量中分别去除“两头”各自的累计量，即从全局

f_{g}

中减去所有低于

i_{l}

区间累计量，再减去“从

i_{u}

到当前tick区间累计量”。

UniV3计算手续费的过程是一种从微观走向宏观的思想，它将空间划分成离散的，每一个时间刻度只会在一个离散空间上产生交易，从而产生手续费，每一个微观tick都在各自记录着自己从最低tick到自身这段区间内的累计手续费总和，然后供上述公式不断调用，以计算各种宏观结果。

UniV3已经改变了传统AMM对LP行为的设定，也不再基于全局流动性和份额来为每一个LP计算手续费收益。对V3来讲，它只关注在每一个tick里存在多少“虚拟”流动性，以及这些虚拟流动性产生了多少手续费，算得单位虚拟流动性对应的手续费值；在这个时空之下，我们再把视角切到具体每一个LP上，对于任何LP，都会存在一个“开仓”的区间设定，他在自己设定的区间提供了虚拟流动性，可能是一个tick，也可能是连续多个tick，从最简单的“一个tick”角度解释，系统会记得同一时空下每一个LP在此tick注入的虚拟流动性值，并为他们确定出一个比例，以此分得该tick内所有手续费累计。

<img?src="https://img.jinse.com/4923027_image3.png"?auto";'>

在实际情况中，LP们还会存在复杂的行为，比如注入/退出的时间纷杂、选择的range/tick纷杂。但UniV3的大道至简之处正是利用全局计算来屏蔽掉单个LP视角，只关心ticks视角和Position视角。在确定好上述所述的一系列全局状态变量的定义后，认真记录好每一笔swap交易在ticks中发生的情况，同时只记录每个tick内虚拟流动性的大小，以此为根本去提供swap交易公式以及swap后手续费如何分配给参与该tick的所有LP们。LP的复杂行为体现在空间的不连续性和时间的不统一性两方面，对于时间不统一性，UniV3还会引入Position这一级别的全局变量为每一个身份记录下其对range/tick加入/退出时手续费的统计，确保后来的LP不会参与到前序LP们已经累计的收益分配。

如果总结来讲，tick-level是对空间上发生的统计，确保起点一致的LP们fee分配，而Position-level是对时间上发生的统计，确保不同起点的LP们fee累计起点不一样。建议实现者深入V3代码，才能真正获得安全计算法。

最后，UniV3过于复杂，但大道至简，即便去模仿，模仿者依然需要下功夫深刻了解其“微积分”思维。这篇文章只选择了fee这一个角度呈现UniV3的“数学原理”，也是其实现集中流动性的核心逻辑。而在数学之外，我们有更多惊喜的“哲学意义”发现与大家分享，例如LPtoken的进化、NFT其实并不只属于艺术领域、V3会存在一个策略博弈、V3对基金池/合成资产的启示等等，当然也包括与MOV超导V2的“心有灵犀”——AMM的本质是连续性的无限网格，UniV3是在这个无限网格基础之上再实现了微观无限网格，是“无数网格机器人的叠加”，MOV超导V2则是在无限网格基础之上进行了更为宏观的无限网格，是超级网格。请期待下一篇《UniV3的自然哲学》。

作者：比原链研究院

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