区块链:技术干货 | 理解零知识证明算法之Bulletproofs：Range Proof I_PRO

前言

Bulletproofs，又一个有意思的零知识证明算法，相信读者已经很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信设置；和zk-stark算法相比，它具有较小的proofsize。根据论文，它有两个方面的应用：1.用于rangeproof；2.用于一般算术电路的零知识证明。下面，让我们先看一下Bulletproofs是如何高效的实现第一点。

Rangeproof

1.?预备知识

aL：表示向量{a1,a2……an}

2n：表示向量{20,21…2n-1}

<a,b>：表示向量内积∑ai*bi，结果是一个值

aob：向量对应位相乘，{a1*b1……an*bn}，结果是一个向量

2.?证明

Alice想要证明

v?

=>则，需要证明一个relation得成立，如下所示：

{：V=grhv^v?}

public-x??????????witness-wrelation-R

即，对于公开信息x，Alice有隐私信息w，使得关系R成立。

令aL为金额v的在范围内的二进制形式，则aL={a1,a2……an}?{0,1}n，且满足<aL,2n>=v。因此，证明者需要证明以下几个等式相等：

a16z生物+健康基金与Bassett合作利用数字医疗技术:金色财经报道，Andreessen Horowitz(a16z)生物+健康基金今天宣布与纽约州中部的综合医疗保健系统Bassett Healthcare Network建立战略合作伙伴关系。这项合作旨在利用a16z投资组合公司的数字医疗技术，通过Bassett Healthcare Network解决向农村患者群体提供高质量医疗服务的不平等和系统性挑战。Bassett医疗集团和a16z已经为这种合作关系成立了一个执行委员会，以探索创新技术和平台，调整优先事项，并监督相关技术改造的实施。（businesswire）[2022/11/8 12:30:19]

V=grhv????(1)

<aL,2n>=v???(2)

aLoaR=0n??(3)

aR=aL-1n???(4)

等式(1)确保了承诺V和金额v的绑定关系，等式(2)确保了v的范围，等式(3)(4)确保了a

L元素只属于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)总共包含了2n+1个约束，其中公式(2)1个，公式(3)(4)各n个。接下来，为了效率，我们需要把2n+1个约束转换成1个约束。

3.?2n+1个约束转换成1个约束

=>预备：从Zp中任意选择一个数y，则b=0n是等式<b,yn>=0成立的充分条件；因为当b!=0n，等式成立的概率仅有n/p，p是有限域，远大于n。因此，如果有<b,yn>=0，那么验证者愿意相信b!=0n。

动态 | 北京市海淀区借助区块链技术实现住所核验线上“秒批”:北京市海淀区市场监督管理局于本月初启动“零见面”服务模式，办事群众利用“北京市企业登记e窗通平台”，可在线办理企业设立、变更、备案、注销、增减补换照等全部市场准入登记事项。借助区块链技术，率先实现了住所核验线上“秒批”。（北京青年报）[2020/2/16]

利用这个理论，我们把等式(2)/(3)/(4)做以下转换：

1.验证者随机选取一个数y发送给证明者；

2.证明者要证明：

<aL,2n>=v(5)

<aL,aRoyn>=0???????(6)

<aL-1n-aR,yn>=0???(7)

同理，等式(5)确保了v的范围，等式(6)(7)确保了a

L元素只属于{0,1}。此时2n+1个约束转换成3个约束，接下来，还需要做进一步的处理：

1.验证者随机选取一个数z发送给证明者：

2.证明者利用z对公式(5)(6)(7)进行线性组合，得到如下公式：

z2*<aL,2n>+z*<aL-1n-aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v???(8)

至此，我们已经把2n+1个约束转换成1个约束。下面我们对公式(8)做进一步的优化，把三个点积优化成1个点积

声音 | 平安金融壹账通陆一帆：区块链技术要服务于务实的应用场景:10月28日，金融壹账通区块链研发部总经理陆一帆在接受澎湃新闻采访时表示，目前，全球各国都在探索和试点区块链技术，把区块链作为核心技术自主创新的重要突破口，正是看到该技术对于现有模式的颠覆性，也将推动和深化区块链技术的发展，促进更多应用场景的落地。区块链技术将在金融、医疗、汽车、房产、智慧城市等具体场景中发挥巨大作用，并有助于联通全球贸易网络，建设国际经贸走廊，真正打通商流、信息流、物流和资金流，实现对于实体经济的有效支持。[2019/10/28]

4.?三个点积优化成1个点积

=>z2*<aL,2n>+z*?<aL-1n-aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v

=><aL,z2*2n>+<aL,z*yn>-<z*1n,yn>-<z*aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v

=><aL,aRoyn+z*yn+z2*2n>-<z*1n,yn>+<z*1n,ynoaR>=z2*v

=><aL,aRoyn+z*1noyn+z2*2n>-<z*1n,yn+ynoaR>=z2*v

=><aL,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-?<z*1n,yn+ynoaR>=z2*v

动态 | 区块链等技术的叠加作用下已经深入生活各领域:据中国日报网消息，近日，“互联网新势力峰会”在杭州举办，峰会上主办方公布了最能代表2018年互联网产业新发展趋势的9大“新势力”，涵盖办公、旅游、音乐、出行、金融、社交、媒体、区块链、母婴9大场景。现场嘉宾认为，互联网经过20年发展，在大数据、人工智能、区块链等技术的叠加作用下已经深入生活各领域。时下互联网经济正处于消费互联网下半场和产业互联网上半场的转型升级期，互联网的下一个20年将深刻影响产业发展。[2019/1/23]

=><aL,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-?<z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n-z*1n*yn+yn-z2*2n>?=?z2*v

=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-<z*1n,-z*1n*yn+yn-z2*2n>=?z2*v

=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+<z*1n,-z*1n*yn+yn-z2*2n>

=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+<z*1n,(-z*1n+1n)*yn>-<z*1n,?z2*2n>

=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+(z–z2)*<1n,yn>-z3*<1n,2n>???(9)

声音 | 赫尔曼：需要区块链等保密技术来保护科学:据上观新闻消息，近日，公钥密码术领域专家，区块链密码学基础非对称加密的创始人赫尔曼表示，人工智能、智脑等具有改变人类未来的力量，但是正因为如此，就更需要通过公钥密码术加密以及区块链等保密技术保护科学，从而保护整个人类文明。[2018/11/5]

=>?令

L=?aL-z*1n

R=?(aR+z*1n)oyn+z2*2n

δ=?(z–z2)*<1n,yn>-z3*<1n,2n>

5.验证：

1.证明者把L/R/V发送给验证者；

2.验证者事先算好δ

3.验证者根据L算出来aL，根据<aL,2n>=v算出v

4.验证者根据L,R,v,δ验证等式<L,R>=z2*v+δ

因为y，z都是验证者提供，因此如果验证者如果能验证公式(9)成立，则相信等式(5)(6)(7)成立，则相信等式(2)(3)(4)成立，则相信v满足关系v?。

但是，可以看到上述过程，泄露了v的信息，因此需要一个零知识证明协议。

6.?一个零知识证明协议

由于L,R包含了v的相关信息，因此，我们需要添加两个盲因子s

L

、s

R来隐藏a

L，a

R。如公式(10)(11)所示：

l(X)=(aL-z*1n)+sL*X)??(10)

r(X)=(aR+z*1n+sR*X)oyn+z2*2n???(11)

此时，定义公式(12)

t(X)=<l(X),r(X)>=t0+t1*X+t2*X2???(12)

可以看出系数t

0是l(x)和r(x)常数项的乘积，即满足：

t0=<L,R>=z2*v+δ

因此，问题由证明：

<L,R>=z2*v+δ

转化成了，在任意一点x，验证者验证多项式值l(x),r(x),t(x)满足关系：

<l(x),r(x)>=t(x)

多项式值l(x),r(x),t(x)由证明者提供，为了保证l(x)，r(x)well-formed，即：

l(x)=(aL-z*1n)+sL*x)

r(x)=(aR+z*1n+sR*x)oyn+z2*2n

需要校验：

P=A*Sx*g(-z)*(h`)z*yn+z^2*2^n

=hαgaLhaR*(hρgsLhsR)x*g(-z)*(h`)z*y^n+z^2*2^n

=hαgaLhaR*?hρxgsL*xhsR*x*g(-z)*(h`)z*y^n+z^2*2^n

=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*haR+sR*x*(h`)z*y^n+z^2*2^n

=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x)*(h`)z*y^n+z^2*2^n

=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x)+z*y^n+z^2*2^n

=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x+z*1^n)+z^2*2^n

=?hμgl(h`)r

=>当且仅当l/rwell-formed，等式成立

为了保证t(x)well-fromed，即：

t=t0+t1x+t2x2

需要校验：

=>gthτx=?Vz^2*gδ*T1x*T2x^2

=>gthτx=?(hrgv)z^2*gδ*(gt1)x*(hτ1)x*(gt2)x^2*(hτ2)x^2

=>gthτx=?hz^2*r+τ1*x+τ2*x^2*gz^2*v+δ+t1*x+t2*x^2

=>gthτx=?hz^2*r+τ1*x+τ2*x^2*gt0+t1*x+t2*x^2

=>t=?t0+t1*x+t2*x2&&τx=?z2*r+τ1*x+τ2*x2

=>当且仅当t和τxwelle-formed，等式成立

具体的协议流程图如下图所示：

总结

从上述流程可以看出，一次rangeproof，证明者需要发送总共{

l/r/t/

τ

x

/

μ

/T1/T2/A/S}个元素给验证者，总共2n+3个Z

p元素，4个G元素。下一篇文章将细讲，Bulletproofs如何将交互复杂度降低到对数级O(log(n))

附录

1.Bulletproofs论文：

chrome-extension://cdonnmffkdaoajfknoeeecmchibpmkmg/assets/pdf/web/viewer.html?file=https%3A%2F%2Feprint.iacr.org%2F2017%2F1066.pdf

标签：区块链ProofROOPRO区块链可以看作是0XPROOF币0XPROOFPropy

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